Théorème de la bijection ?

Petit problème à mettre à mon actif: je pensais avoir révisé la démonstration, et il s'avère après mure réflexion que ce n'est pas ça ! Alors pouvez-vous me la donner ? Merci. Si possible avant lundi matin... Smile

Admin Inscrit le : 28 Jan 2006 Messages : 96

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/cont03.pdf
Page 11: paragraphe 5....
La démonstration est excellente...

Pas mal le lien !
Merci bien !

Inscrit le : 04 Fév 2006 Messages : 42 Localisation : 44

Me voilà tadaaa!!!

Soit ƒ une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I.
Le T.V.I. affirme l'existence d'au moins une solution dans I à l'équation ƒ(x) = λ lorsque λ est intermédiaireentre ƒ(a) et ƒ(b).
Quelle condition ajouter pour avoir l'unicité ?

Théorème de bijection : Soit ƒ une fonction dérivable (donc continue) et strictement monotone sur un intervalleI = [a ; b]. Pour tout réel λ intermédiaire entre ƒ(a) et ƒ(b), il existe un unique réel c ∈ I tel que ƒ(c) = λ.(Autrement dit : l'équation ƒ(x) = λ admet une et une seule solution dans I)

Démonstration :

Soit λ un réel intermédiaire entre ƒ(a) et ƒ(b).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, nous avonsl'existence d'un réel c dans I tel que ƒ(c) = λ.
Montrons que ce réel c est unique. Supposons qu'il existe un réel c' ∈ I tel que ƒ(c') = λ.
Si c < c' , alors ƒ(c) < ƒ(c') (lorsque ƒ est strictement croissante) ou ƒ(c) > ƒ(c') (lorsque ƒ est strictement décroissante).

Donc ƒ(c) ≠ ƒ(c'), c'est-à-dire λ ≠ λ, ce qui est absurde.On raisonne de même si c > c' pour aboutir à la même absurdité.Donc on a nécessairement c = c' et, par suite, le réel c est unique.Remarque : le théorème de bijection s'étend aux intervalles non bornés..
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`··._.·Arsenic_SpIrIt ¯`·.,¸¸,.

C'est en gros ce qu'il y a sur le lien que ma filé le "grand manitou des maths" ( Smile

), mais merci pour ta démonstration.
Mais bon, je n'en ai pas eu besoin lol